Las Torres de Hanoi y el Mandato de Brahma
Hola a tod@s:
Aquí os presento una de las sesiones del programa Profundiza de este curso.
En primer lugar, este es el problema que les planteo a mis alumnos:
Cuando Brahma, el Dios hindú de la Creación acabó su obra, construyó un enorme monasterio en Benarés, en uno de los patios interiores colocó tres agujas de oro y en una de dichas agujas 64 discos de oro puro ordenados de mayor a menor. Incansablemente, día tras día, los monjes del templo mueven los discos haciéndolos pasar de una aguja a otra de acuerdo con las leyes fijas e inmutables de Brahma, que son las siguientes:
- En cada movimiento sólo podrán llevar un disco.
- El trabajo hay que hacerlo en el menor número de movimientos posibles.
- No se puede colocar nunca un disco mayor sobre otro menor.
La leyenda concluye con la siguiente sentencia de Brahma: “Cuando paséis el último disco, vendré con todo mi poder para llevaos al Nirvana eterno donde no existirá ni el dolor ni la ignorancia. Después, la Tierra desaparecerá.
Este final nos plantea dos problemas de trascendental importancia.
a) ¿Cuántos movimientos han de hacer los monjes de Benarés para cumplir con el mandato de Brahma?
b) ¿Cuándo será, por tanto, el fin del mundo?
Basándose en dicha leyenda, Éduard Lucas, en 1883, creó un juego similar al que llamó las Torres de Hanoi. El juego está formado por tres varillas verticales y un número indeterminado de discos (que determinarán la complejidad del juego, a más discos mayor será la dificultad). Los discos, de diferente tamaño cada uno, se colocan de mayor tamaño (el de más abajo) o menor (el de más arriba) en la primera varilla.
El juego consiste en pasar todos los discos a la tercera varilla, en el mismo orden decreciente y respetando tres reglas básicas:
1ª. Sólo se puede mover un disco en cada tirada (aunque no cada día como hacen los monjes).
2ª. Nunca podemos depositar un disco de mayor tamaño que su inmediatamente inferior, es decir, nunca puede haber un disco de menor diámetro bajo otro mayor.
3ª. Sólo se puede desplazar el disco que se encuentre en la parte superior de la varilla.
Bien, propuesto dicho problema, les digo a mis alumnos que construyan sus torres de Hanoi, para que así sean capaces de pasar de lo concreto a la resolución del problema de Brahma. Veamos cómo trabajan en sus construcciones.
Ha llegado el momento de comenzar a trabajar sobre el terreno.
Como vemos el número de movimientos crece exponencialmente según aumentamos el número de fichas.
Es por eso que deben empezar con pocas e ir aumentando la dificultad según vayan logrando superar el reto.
Comienzan por 2, y se dan cuenta que el número mínimo de movimientos es 3.
Continúan con 3 fichas y, fácilmente llegan a la conclusión de que son 7 los movimientos necesarios.
Siguen con 4 y, descubren con algo más de dificultad, que los movimientos mínimos son 15.
Y, para finalizar, con sus 5 fichas, después de un gran rato (y de alguna que otra rencilla entre ellos sobre la solución: que si 35, que 41, etc...) llegan a que el mínimo número es 31.
Por tanto, generalizando llegan a que si hay n discos, el número mínimo de movimientos es 2n -1.
Si usamos las 64 piezas de la leyenda, serán 264 - 1, es decir, 18.446.744.073.709.551.615 movimientos. A movimiento por día...me temo que ninguno veremos el fin del mundo. Es más, si suponemos un movimiento por segundo (cosa bastante complicada), los 64 discos estarían en la tercera varilla en unos 585.000 millones de años (si la Tierra tiene unos 5000 millones de años...)
Después de este resultado todos nos fuimos más tranquilos a casa...por si acaso la Leyenda fuese cierta...
